Родился 22 мая 1921 года в городе Каинске (ныне Куйбышев Новосибирской области).
В 1939 году после окончания средней школы в Новосибирске поступил на физико-математический факультет Томского государственного университета, который досрочно окончил с отличием в 1942 году.
В ноябре 1942 года ушел на фронт. Сражался на Волховском, Ленинградском, 2-м и 3-м Прибалтийских фронтах, служил рядовым, затем лейтенантом, был переводчиком в разведроте. Демобилизован в декабре 1945 года.
В феврале 1946 года был зачислен в аспирантуру Московского государственного университета. В 1949 году защитил кандидатскую, в 1954 – докторскую диссертации. Уже с 1948 года он начал работать над решением сложнейших прикладных задач, необходимых для создания ядерного щита страны. Работы Н.Н. Яненко в составе группы ученых привели к созданию метода расчета энерговыделения ядерных зарядов. Эта работа была отмечена в 1953 году Государственной премией СССР.
С 1948 по 1953 год работал в Геофизическом институте АН СССР, с 1953 по 1955 год – в Математическом институте им. В.А. Стеклова АН СССР. Преподавал в Московском и Уральском университетах. С 1955 по 1963 год Н.Н. Яненко работал сначала начальником, а затем научным руководителем математического отделения Вычислительного центра Свердловского отделения Математического института АН СССР (НИИ-1011) в Снежинске. В 1960 году ему присвоено звание профессора по специальности «Математическая физика».
С 1963 по 1976 год работал сначала заведующим лабораторией, затем заведующим отделом численных методов механики сплошной среды Вычислительного Центра СО АН СССР.
По совместительству работал ассистентом, старшим преподавателем, профессором Московского и Новосибирского университетов. Внес большой вклад в дело подготовки научных кадров как организатор и заведующий кафедрой вычислительных методов механики сплошной среды Новосибирского государственного университета – подготовил 13 докторов и более 50 кандидатов наук.
В 1966 году избран членом-корреспондентом Академии наук СССР. В 1970 году избран действительным членом Академии наук СССР.
С 1976 по 1984 год – директор Института теоретической и прикладной механики Сибирского отделения Академии наук СССР. Его работы оказали влияние на развитие ряда областей математики и механики, особенно численных методов решения задач механики, и получили признание как в России, так и за рубежом. Н.Н. Яненко вел большую организационную работу в составе Национального комитета АН СССР по теоретической и прикладной механике, бюро Отделения механики и процессов управления АН СССР (1977–1984), Института астронавтики и аэронавтики США, других международных научных организаций.
Под руководством академика Н.Н. Яненко сформировались авторитетные конференции, семинары, симпозиумы, привлекавшие на свои заседания как молодых сотрудников, так и крупнейших ученых нашей страны и мира. Автор более 350 научных работ. Член редколлегий отечественных и зарубежных научных журналов и сборников.
За большие заслуги в развитии математики и механики, подготовке научных кадров и в связи с шестидесятилетием Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 мая 1981 года академику, директору Института теоретической и прикладной механики СО РАН СССР Николаю Николаевичу Яненко присвоено звание Героя Социалистического Труда.
Награжден боевыми наградами: орденом Красной Звезды, медалями «За отвагу», «За оборону Ленинграда», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.». Заслуги ученого отмечены также тремя орденами Трудового Красного Знамени, орденами Октябрьской Революции, Ленина, медалями.
Трижды лауреат Государственной премии СССР (1953, 1972, 1985 – посмертно) Николай Николаевич Яненко скончался 16 января 1984 года.
В память о Герое Социалистического Труда Николае Николаевиче Яненко проведено несколько международных форумов в Москве и Новосибирске; в Снежинске на доме, где он жил, и в Новосибирском институте теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН установлены мемориальные доски. Учреждена премия имени академика Н.Н. Яненко для молодых ученых Сибирского отделения Российской академии наук [27, 247, 476, 481, 968, 1020, 1098, 1183].