Родился 28 февраля 1924 года в деревне Усть-Сумы Каргатского района Новосибирской области. Русский.
Окончил неполную среднюю школу. Работал в колхозе, затем жил в Новосибирске, где работал на механическом заводе № 386 (ныне завод «Искра»).
В Красную Армию был призван Дзержинским военкоматом г. Новосибирска в 1942 году, с августа того же года на фронтах Великой Отечественной войны.
Воевал гвардии старшим сержантом, командиром бронетранспортера роты управления 53-й гвардейской танковой Фастовской ордена Ленина Краснознаменной ордена
Б. Хмельницкого бригады (6-й гвардейский танковый корпус, 3-я гвардейская танковая армия, 1-й Украинский фронт). Неоднократно участвовал в разведоперациях за линией фронта.
Отличился в боях в феврале – марте 1945 года в Нижней Силезии (Германия). Действуя в составе разведгруппы, неоднократно добывал ценные сведения, которые помогали командованию планировать наступление советских войск.
В феврале 1945 года разведгруппа на двух бронетранспортерах совершала рейд по тылам противника. Бронетранспортер старший сержанта Бабаева настиг немецкий обоз с военным грузом. Николай «прошелся» по обозу с полкилометра. И заметив вдалеке дымок приближающегося немецкого эшелона, решили взорвать рельсы перед ним.
В результате состав был расстрелян и подожжен, а товарищи возвратились в свою часть.
В районе городка Наумбурга группа разведчиков во главе с Н. Бабаевым захватила в плен немецких связистов, узнала от них, что на окраине городка находится штаб танкового корпуса войск «СС». Разведчики скрытно пробрались к штабу. Старший сержант с гранатой в руке первым ворвался в штаб. Ошеломленные дерзким нападением русских немецкий генерал и офицеры сдались без сопротивления.
7 марта 1945 года, находясь на господствующей высоте, отразил атаку пехоты и танков, подбил два из них, уничтожил несколько десятков гитлеровцев. За проявленный подвиг Н.А. Бабаев 27 июня 1945 года был удостоен звания Героя Советского Союза.
С 1946 года, после демобилизации, жил в Новосибирске, работал на механическом заводе «Искра». Член ВКП(б)/КПСС с 1947 года.
Окончил партшколу. Награжден орденами Ленина, Отечественной войны 2-й степени, Красной Звезды, Славы 3-й степени, медалями.
Скончался Н.А. Бабаев 13 августа 1984 года.
В центральном парке Каргата на аллее Славы установлен бюст Героя Советского Союза Бабаева Николая Архиповича. В Новосибирске имя Героя увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы [1781, 207, 240, 415, 835, 1085].