Родился 28 марта 1921 года в деревне Плотниково ныне Ордынского района Новосибирской области в крестьянской семье. Русский.
Окончил 7 классов, школу ФЗУ (в настоящее время Новосибирское ПУ № 1). Работал фрезеровщиком и токарем на авиационном заводе имени В.П. Чкалова, учился в аэроклубе.
В Красной Армии с сентября 1938 года. Окончил военную авиационную школу в городе Новосибирске. В действующей армии с июня 1941 года.
Командир звена 2-го гвардейского авиационного полка (3-я авиационная дивизия, АДД) гвардии капитан Алексей Гаранин к началу октября 1942 года произвел 241 боевой вылет на бомбардировку важных объектов в глубоком тылу врага.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 31 декабря 1942 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм гвардии капитану Гаранину Алексею Дмитриевичу присвоено звание Героя Советского Союза.
Член ВКП(б) с 1942 года.
Гвардии майор Алексей Дмитриевич Гаранин является пионером авиации дальнего действия, бомбил Берлин, Данциг, Кенигсберг, Тильзит и другие города фашистской Германии и ее вассалов.
В ночь на 28 июня 1943 года командир бомбардировочного авиационного полка дальнего действия А.Д. Гаранин при выполнении боевого задания в районе железнодорожной станции Орша в Витебской области Белоруссии направил горящий самолет на фашистский склад боеприпасов и погиб смертью героя.
Награжден двумя орденами Ленина, орденом Красного Знамени, медалями. Именем Героя названы улицы в городе Новосибирске и селе Верх-Ирмень Ордынского района, в Новосибирске установлена мемориальная доска. Ордынской средней школе № 1 присвоено имя Героя Советского Союза А.Д. Гаранина.
Имя Алексея Дмитриевича Гаранина увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы в Новосибирске, а также в Ордынском мемориальном парке героев-земляков [12, 178, 240, 410, 431, 481, 727, 732, 734, 787].