Родился в 1918 году на станции Буй ныне Костромской области в семье рабочего-железнодорожника. Русский. Окончил 7 классов средней школы и Ивановский индустриальный техникум. Затем поступил в Новосибирский строительный институт. Когда началась советско-финляндская война, добровольцем вступил в Красную Армию. В 1940 году вернулся в институт. Был отличником, именным стипендиатом, секретарем комсомольского бюро факультета, мастером спорта по лыжам, имел 1 разряд по плаванию и парашютному спорту.
С четвертого курса Сибстрина добровольцем ушел на фронт. В сентябре 1941 года Новосибирский военкомат направил Кончина в военное училище в Подольск. Член ВКП(б) с 1941 года. В октябре 1941 года Кончину было присвоено воинское звание «младший политрук», он назначен на должность военного комиссара роты и в срочном порядке отправлен на передовую под Москву.
С июня 1942 года в частях ВДВ участвовал в боях на Дону и Волге. 18 августа в бою за высоту 87,0 в районе озера Цаца в рукопашной схватке Кончин лично уничтожил 5 гитлеровцев, но и сам был тяжело ранен. Его подобрали санитары и отправили в медсанбат. В части посчитали Кончина погибшим, и Указ о награждении его орденом Красной Звезды вышел с пометкой «посмертно». В госпитале Кончин находился до декабря.
С января 1943 года в составе лыжной бригады он участвовал в рейдах по тылам противника.
Летом 1943 года его направили на учебу в военно-политическое училище. Успешно окончил ускоренный курс обучения.
С апреля 1944 года в составе 266-го гвардейского стрелкового полка в должности заместителя командира батальона по политической части участвовал в боях в районе Тирасполя, оборонял Днестровский плацдарм, в боях под Ковелем, в освобождении города Люблина и концлагеря Майданек.
18 июля 1944 года при прорыве обороны противника западнее Ковеля гвардии капитан Кончин повел в атаку личный состав батальона. Получив ранение, остался в боевых порядках и, продолжая руководить боем, добился выполнения батальоном боевой задачи.
В январе 1945 года при прорыве обороны противника в районе села Цыцеловка на реке
Висла Кончин вместе с бойцами Давыдовым, Бабиным и Степановичем со знаменем батальона первым бросился в атаку. Батальон с ходу преодолел немецкие траншеи и вышел к железнодорожной станции. Здесь противник оказал ожесточенное сопротивление. Под сильным пулеметным огнем Кончин поднял бойцов в атаку. Быстро выйдя из зоны огня, гвардейцы с минимальными потерями ворвались на станцию.
26 января батальон Кончина вышел к реке Варте в районе населенного пункта Вайсенбург (ныне Бедруско, 15 км севернее Познани, Польша). Кончин переправился на западный берег и организовал прикрытие огнем переправы. Затем во главе переправившегося батальона ворвался в Вайсенбург, выбил оттуда немцев и организовал оборону. Днем противник семь раз переходил в контратаку, но все они были отбиты. Тем временем через реку переправилась вся дивизия. Это обеспечило успех ее дальнейшего наступления на Познань и дальше, к Кюстренскому плацдарму на Одере.
24 марта 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом геройство и мужество Указом Прези- диума Верховного Совета СССР заместителю командира батальона по политической части 266-го гвардейского стрелкового полка (88-я гвардейская стрелковая дивизия, 8-я гвардейская армия, 1-й Белорусский фронт) гвардии капитану А.А. Кончину присвоено звание Героя Советского Союза.
16 апреля в бою в районе фольварка Вердер Бранденбургской провинции в бою был ранен командир батальона Умаров. Кончин принял командование на себя. Обходным маневром батальон овладел фольварком.
Прорвав оборону противника на Зееловских высотах, части 8-й гвардейской армии устремились к Берлину. 24 апреля полки 88-й гвардейской дивизии вышли к каналу Тельтов и на следующий день начали штурм городских кварталов.
27 апреля на подступах к Тиргартену во время штурма опорного пункта рядом с Кончиным разорвался фаустпатрон. От полученных ран он скончался. Похоронен в польском городе Познань, на мемориальном кладбище «Цитадель».
Награжден орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны 1-й степени, орденом Красной Звезды, медалями.
На родине, в городе Буй (Костромская область) установлен бюст Героя. В городе Иваново на здании бывшего индустриального техникума (ныне корпус Ивановской государственной архитектурно-строительной академии) – мемориальная доска.
Имя Кончина Александра Алексеевича увековечено на мемориале Героев Советского Союза – ивановцев, а также в Новосибирске на памятнике фронтовикам-сибстриновцам (ныне Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет) [178, 196, 240, 331, 444, 556, 692, 787, 808, 926, 998].