Родился 10 июля 1921 года в селе Острожное ныне Дзержинского района Калужской области.
В 1940 году окончил 10 классов и Пролетарский аэроклуб в Москве.
В рядах Красной Армии с июня 1940 года. До ноября 1940 года обучался в Стрыйской военной авиационной школе летчиков, в 1940–1941 годах – в Фастовской военной авиационной школе летчиков. В 1941 году окончил Черниговскую военную авиационную школу летчиков, оставлен в ней летчиком-инструктором.
В 1946–1947 годах – летчик-инструктор Высшей офицерской школы воздушного боя (г. Люберцы). В 1947–1948 –летчик-инструктор Учебно-методического Центра ВВС (поселок Сейма Горьковской области). В 1950 году окончил Школу летчиков-испытателей.
С 1950 по 1966 год – летчик-испытатель авиационного завода № 153 (ныне Новосибирское авиационное производственное объединение им. В.П. Чкалова). Поднял в небо и провел испытания головных сверхзвуковых истребителей МиГ-19 (1955) и Су-11 (1962) этого авиазавода. Испытывал серийные реактивные истребители МиГ-15, МиГ-15УТИ, МиГ-17, МиГ-19, Су-9, Су-11, Як-28П и их модификации.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 августа 1964 года за мужество и героизм, проявленные при испытании новой авиационной техники, летчику-испытателю, полковнику Борису Захаровичу Попкову присвоено звание Героя Советского Союза.
В 1966–1976 годах – летчик-испытатель Киевского авиационного завода. Испытывал серийные турбовинтовые самолеты Ан-24, Ан-26, Ан-30 и их модификации.
С апреля 1976 года – в запасе. До 1985 года работал инженером-конструктором, председателем ДОСААФ Киевского авиационного производственного объединения. Жил в Киеве.
Награжден орденами Ленина, Красного Знамени, двумя орденами Красной Звезды, медалями.
Умер 18 января 1987 года. Похоронен в Киеве, на Лукьяновском военном кладбище [179, 344, 481, 734, 787, 884, 919, 943, 996, 1208].