Родился в 1898 году на хуторе Ключи Нижнедевицкого района Воронежской области. Русский.
В годы гражданской войны был активным участником партизанского движения на Алтае.
С 1920 года жил и работал в Черепановском, затем в Искитимском районах Новосибирской области. В числе первых вступил в колхоз. Работал столяром.
Осенью 1941 года вместе со старшим сыном Иваном призван в армию Искитимским райвоенкоматом. Защищал Ленинград. Ранен. После непродолжительного лечения в госпитале попал на 2-й Украинский фронт и закончил воину в столице Австрии – Вене.
Командир отделения 616-го отдельного саперного батальона (337-я стрелковая дивизия, 40-я армия, 
Воронежский фронт) ефрейтор Подкопаев в бою 16 сентября 1943 года взорвал дамбу и балочный мост через реку Сулла у села Зарубницы (Лубенский район Полтавской области). 25 сентября 1943 года при форсировании Днепра у села Хорошки (Каневский район Черкасской области) умело организовал переправу стрелковых подразделений и боеприпасов, чем способствовал захвату и удержанию в течение 10 дней плацдарма на правом берегу реки, обеспечивающего переправу наших войск на занятый плацдарм.
Воронежский фронт) ефрейтор Подкопаев в бою 16 сентября 1943 года взорвал дамбу и балочный мост через реку Сулла у села Зарубницы (Лубенский район Полтавской области). 25 сентября 1943 года при форсировании Днепра у села Хорошки (Каневский район Черкасской области) умело организовал переправу стрелковых подразделений и боеприпасов, чем способствовал захвату и удержанию в течение 10 дней плацдарма на правом берегу реки, обеспечивающего переправу наших войск на занятый плацдарм.
За мужество и героизм, проявленные при форсировании Днепра, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 13 ноября 1943 года Подкопаеву Степану Ивановичу было присвоено звание Героя Советского Союза.
После окончания войны вернулся в Сибирь, жил в Черепановском районе и г. Искитиме. Там работал в пожарном депо.
Награжден орденами Ленина, Славы 3-й степени, многими медалями.
Умер Степан Иванович в 1979 году. Похоронен в г. Искитиме.
Бюст Героя Советского Союза Подкопаева Степана Ивановича установлен в г. Искитиме перед Краеведческим музеем. Его именем названа улица в п. Раздольный Искитимского района Новосибирской области. На Аллее памяти в г. Черепаново помещен его портрет. В Новосибирске его имя увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы [179, 240, 418, 420].