Родился в 1923 году в деревне Александровка ныне Юргинского района Кемеровской области в крестьянской семье.
Русский.
Окончил среднюю школу. Был рабочим в буровой разведке.
В ряды Красной Армии призван Новосибирским РВК в феврале 1942 года. В том же году окончил Новосибирское пехотное училище и был направлен на фронт.
Командир батальона 574-го стрелкового полка (121-я стрелковая дивизия, 60-я армия, Центральный фронт) капитан Александр Максименко одним из первых в полку 28 сентября 1943 года с вверенным ему стрелковым батальоном форсировал реку Днепр в районе села Глебовка Вышгородского района Киевской области Украины. Овладев плацдармом на западном берегу Днепра, отразил несколько вражеских контратак.
30 сентября 1943 года в бою за село Ясногородка Вышгородского района капитан Максименко А.П. был ранен, но не покинул поля боя и продолжал успешно командовать батальоном. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года.
Звание Героя Советского Союза присвоено капитану Максименко Александру Петровичу 17 октября 1943 года
за умелое командование стрелковым батальоном, образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм.
за умелое командование стрелковым батальоном, образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм.
16 июля 1944 года в бою у села Внуковцы ИваноФранковской области Украины майор Максименко А.П. пал смертью храбрых.
Похоронен в городе Тернополь.
Награжден двумя орденами Красного Знамени, орденами Ленина, Красной Звезды, Александра Невского, Александра Суворова.
Именем Героя названы школа № 1 г. Юрга Кемеровской области, улицы в Заводском районе города Кемерово и в Юрге.
На фасаде здания школы, в которой учился Александр Петрович Максименко, установлена мемориальная доска. В Тернополе в парке Славы установлен бюст Героя [179, 209, 240, 550, 787, 998].