Родился 15 декабря 1928 года в селе Куртурово ныне Новокузнецкого района Кемеровской области. Русский.До 1936 года проживал в городе Сталинске (ныне Новокузнецк). После вместе с семьей переехал в село Новомихайловка Коченевского района Новосибирской области.
В 1943 году, окончив 6 классов, стал работать конюхом в колхозе «2-й Большевистский сев». В 1945 году переехал с родителями на стацию Чик, где работал в МТС слесарем инструментальщиком, токарем 5-го разряда.
В 1948 году призван в ряды Советской Армии.
В 1952 году, демобилизовавшись из рядов Советской Армии, продолжил работать в Чикской МТС шофером.
В апреле 1954 года поступил на работу водителем автобуса в автобусный парк №1, где проработал 35 лет.
В связи с открытием в Новосибирске аэропорта «Толмачево» был разработан маршрут «Городской аэропорт – Толмачево», который сначала обслуживал один автобус, водителем которого был Багаев. На этом маршруте он проработал до выхода на пенсию.
В 1965 году ПАТП-1 был передан с завода юбилейный 20-тысячный автобус ЛИАЗ-158, который был вручен Багаеву как лучшему водителю. Багаев довел его пробег без капитального ремонта до 1 миллиона 540 тысяч километров, перекрыв взятое обязательство довести пробег до 1,5 миллиона километров. Его примеру последовали многие водители предприятия.
Являлся победителем социалистического соревнования, удостоен звания «Лучший шофер» в 1974 году.Указом Президиума Верховного Совета СССР от 13 мая 1977 года за выдающиеся успехи, достигнутые в выполнении плановых заданий на 1976 год и принятых социалистических обязательств, Николаю Алексеевичу Багаеву присвоено звание Героя Социалистического Труда.
Награжден двумя орденами Ленина, медалями [410, 447, 481].