Родился 13 июля 1874 года в якутском селении Олекма. Русский. Его родители за активное участие в польском вооруженном восстании 1864 года против царского режима были лишены всех прав с конфискацией имущества и сосланы в Сибирь на вечное поселение. В 1882 году семья Скочинских переехала в Красноярск, где Александр окончил с золотой медалью гимназию и, выдержав приемные экзамены в Петербургский университет, был принят на физико-математический факультет. Проучившись два года, перевелся в Петербургский горный институт, который успешно заканчивает в 1900 году.
Был оставлен при институте для педагогической деятельности, а после защиты диссертации «Рудничный воздух и основной закон движения его по выработкам» (1905) его избирают сначала адъюнкт-профессором, а затем ординарным профессором.
С 1917 по 1920 год преподавал в Донском политехническом институте (г. Новочеркасск), а затем вновь возвращается в Ленинградский горный институт, где он проработал до 1930 года, когда был переведен в Московский горный институт.
В 1921–1930 годах – председатель научно-технического совета Главного управления горной промышленности ВСНХ РСФСР. В 1931 – 1937 годах – член и эксперт Правительственной комиссии по подземной газификации ископаемых углей. В 1934 году – председатель Научно-исследовательской ассоциации каменноугольной и сланцевой промышленности при Народном Комиссариате тяжелой промышленности СССР. В 1935–1938 годах – председатель группы горного дела Отделения технических наук АН СССР, реорганизованной в 1938 году в Институт горного дела АН СССР, который он возглавлял свыше 20 лет.
А.А. Скочинский является основателем русской, а затем советской школы ученых, работающих в области рудничной атмосферы, аэродинамики, рудничной термодинамики, борьбы с газопроявлениями в выработках, их запыленностью и рудничными пожарами.
В 1943 году по поручению Президиума АН СССР академик Скочинский организовал Западно-Сибирский филиал Академии наук СССР, председателем Президиума которого он был избран в следующем году и являлся им вплоть до 1951 года. Организация филиала, включавшего ряд научных институтов, и в частности горно-геологический институт, имела большое значение в изучении и использовании природных богатств Западной Сибири.
В 1954 году Александр Александрович удостоен звания Героя Социалистического Труда.
Награжден пятью орденами Ленина, двумя орденами Трудового Красного Знамени, медалями, почетным знаком «Шахтерская слава».
Ему присвоено почетное звание «Заслуженный деятель науки и техники РСФСР» и звание «Горный генеральный директор II ранга». Дважды удостоен Государственной (Сталинской) премии за создание и внедрение в угольную промышленность переносных приборов для контроля рудничной атмосферы и отдельно за учебник «Рудничная вентиляция» (в соавторстве). Исследования по многим направлениям отражены им самостоятельно или в соавторстве более чем в 200 публикациях.
Скончался Александр Александрович Скочинский 6 октября 1960 года. Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.
Институту горного дела АН СССР в г. Люберцы (Московская область) и одной из шахт Донбасса было присвоено имя А. Скочинского. Учреждена премия имени академика А. Скочинского, которая присуждается Минэнерго РФ и горным отделением Научно-технического общества лицам и коллективам за научные достижения в области рудничной аэрологии и инженерные работы по внедрению безопасных способов разработки угольных пластов. Его именем названы улицы в шахтерском городе Климовске Подмосковного угольного бассейна и на его родине в Олекминске [410, 447, 481, 854, 947, 968].