Родился в 1915 году в деревне 2-я Чернушка Соловецкой волости Никольского уезда Вологодской губернии (ныне Октябрьский район Костромской области) в семье крестьянина. Русский.
В 1933 году с родителями переехал в Мошковский район Новосибирской области. После окончания семилетней школы работал с 1934 по 1937 год бригадиром полеводческой бригады, счетоводом колхоза «Строитель социализма» Усть-Каменского сельского Совета, счетоводом колхоза «Борец» – до 1939 года.
В 1937 году избирался депутатом Пермского сельского Совета, с 1939 по 1942 год – секретарем, затем председателем исполкома Пермского сельского Совета Мошковского района.
В 1940 году мобилизован в Красную Армию на Карело-Финский фронт. В 1942 году был мобилизован в Красную Армию, сначала в 23-ю запасную Новосибирскую стрелковую бригаду, а позднее в Алтайскую дивизию. Дальше был перевод в 5-ю гвардейскую армию 1-го Украинского фронта.
В боях Великой Отечественной войны с января 1944 года. Прошел боевой путь от Кировограда до Праги. Был трижды ранен. Награжден орденами Красной Звезды, Ленина, тремя медалями, имел пять благодарностей от Верховного Главнокомандующего.
Помощник командира взвода 25-го гвардейского воздушно-десантного стрелкового полка (9-я гвардейская воздушно-десантная дивизия, 5-я гвардейская армия, 1-й Украинский фронт) гвардии сержант Кобелев 12 января 1945 года при прорыве обороны у населенного пункта Стопница (восточнее г. Буско-Здруй, Польша) выбил противника из траншеи. С группой бойцов ударом с фланга обеспечил захват опорного пункта у населенного пункта Прусы (3 км севернее Стопницы), отражая контратаку, подбил два БТРа, уничтожил 75 гитлеровцев и удержал рубеж.
В бою под Варшавой Кобелеву пришлось заменить убитого командира и поднять гвардейцев в атаку. В этом бою Кобелева ранило, но он продолжал командовать подразделением.
За героизм на Сандомирском плацдарме за Вислой на земле Польши Кобелеву Аркадию Васильевичу было присвоено звание Героя Советского Союза (Указ Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года).
Награжден орденом Красной Звезды, многими медалями. Член ВКП(б) с 1943 года.
После демобилизации из армии в 1946 году А.В. Кобелев возвратился в Мошковский район. Работал заведующим отделом животноводства Мошковского райисполкома. В 1947 году окончил 6-месячную Новосибирскую областную партшколу, после чего был назначен уполномоченным Министерства заготовок Союза ССР по Мошковскому району, являлся депутатом Мошковского районного Совета депутатов трудящихся.
Умер Аркадий Васильевич Кобелев 7 марта 1966 года.
Имя Героя носит улица в рабочем поселке Мошково. В Мошково в честь Героя установлена мемориальная доска. На месте захоронения Героя Советского Союза Аркадия Васильевича Кобелева к 60-летию Победы в Великой Отечественной войне установлен памятник.
Портрет Кобелева Аркадия Васильевича запечатлен на мемориале Героям Советского Союза в г. Тогучине. В Новосибирске его имя увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы [178, 196, 240, 410, 429, 434, 943, 1063].